¿Qué es matriz ortogonal?

Una matriz ortogonal es aquella que cumple con las siguientes características:

1. Es una matriz cuadrada, es decir, tiene el mismo número de filas y columnas.
2. Todas las filas y columnas de la matriz son vectores ortogonales entre sí.
3. El producto de la matriz original por su matriz transpuesta resulta en la matriz identidad.

Estas propiedades se pueden expresar matemáticamente de la siguiente manera:

1. Sea A una matriz de tamaño nxn, donde n es el número de filas y columnas de la matriz. Entonces A es una matriz ortogonal si y solo si A es una matriz cuadrada de orden n.

2. Si A = [a_ij] es una matriz ortogonal, entonces los vectores fila a_i y columna a_j son ortogonales entre sí, es decir, el producto punto entre ellos es cero:

a_i * a_j = 0 para i ≠ j

3. La matriz ortogonal A es tal que su producto con su matriz transpuesta resulta en la matriz identidad I:

A * A^T = I

Donde A^T es la matriz transpuesta de A.

Algunos ejemplos de matrices ortogonales son:

• La matriz identidad I: es una matriz ortogonal ya que cumple con las tres características mencionadas anteriormente.

• La matriz de rotación en dos dimensiones: es una matriz 2x2 que permite rotar un punto en el plano por un ángulo determinado. Si se multiplica esta matriz por su matriz transpuesta, se obtiene la matriz identidad, lo que indica que es una matriz ortogonal.

• La matriz de rotación en tres dimensiones: es una matriz 3x3 que permite rotar un punto en el espacio por un ángulo determinado alrededor de un eje. Al igual que en el caso anterior, si se multiplica por su transpuesta se obtiene la matriz identidad, por lo que también es una matriz ortogonal.

Las matrices ortogonales tienen muchas aplicaciones en campos como la geometría, la física, la informática y el procesamiento de señales, entre otros. Estas propiedades las hacen muy útiles en una amplia gama de aplicaciones.